Алексей Мельников родился в Москве в 1990 году. В 1996-м поступил в Московскую среднюю специальную музыкальную школу им. Гнесиных (класс Татьяны Шкловской). В 2008–2013 годах обучался в Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского под руководством Сергея Доренского и его ассистентов: Николая Луганского, Павла Нерсесьяна и Андрея Писарева.
В 2010 году завоевал II премию на Международном конкурсе пианистов памяти Веры Лотар-Шевченко в Новосибирске, в 2014-м – I премию и несколько специальных призов на Международном конкурсе пианистов в Сан-Марино, а в 2015-м – III премию на Международном конкурсе пианистов в Хамамацу. В 2017 году стал лауреатом Манхэттенского международного музыкального конкурса и дал сольный концерт в нью-йоркском Карнеги-холле. В 2018-м получил приз фонда «Нева» на академии Музыкального фестиваля Вербье. В 2019 году завоевал III премию на Международном конкурсе им. П. И. Чайковского.
Выступал с камерным оркестром «Виртуозы Праги», Филармоническим оркестром Бакэу (Румыния), Симфоническим оркестром Сан-Марино, Токийским симфоническим оркестром и Симфоническим оркестром Московской государственной консерватории.
Давал сольные концерты в парижском зале Корто, концертном зале Бунка Кайкан в Токио, дворце Жофин в Праге, театре Ла Фениче в Венеции, Большом зале Московской консерватории, а также на различных площадках России, Германии, Италии, Франции, Японии, Польши, США, Испании, Бельгии и Вьетнама. Принимал участие в Международном фестивале камерной музыки в Черво (Италия), музыкальном фестивале Animato в Париже и Фестивале молодых пианистов им. Генриха Нейгауза в Москве.
