Антон Баронин родился в Обнинске в семье музыкантов. Отец — Игорь Егиков, композитор, ученик Арама Хачатуряна, мать — преподаватель теории музыки. В четыре года начал играть на виолончели и фортепиано, в шесть лет его без экзаменов приняли в Центральную музыкальную школу при Московской консерватории. Там Антоном начала заниматься Елена Петровна Ховен, выдающийся представитель русской фортепианной школы.
Окончив музыкальную школу, Антон поступает в МГК им.Чайковского. В Консерватории он увлекается роком и джазом — и классическая музыка отходит на второй план. Антон начинает брать уроки джазовой импровизации у известного пианиста и педагога Михаила Моисеевича Окуня.
Постепенно Антон приобретает известность в профессиональных кругах и становится одним из наиболее приглашаемых пианистов московской джазовой сцены. В это же время он сотрудничает с такими прославленными отечественными джазистами, как Герман Лукьянов, братья Бриль, Анатолий Герасимов, Виталий Головнев, Борис Курганов и многими другими. Также совместно с саксофонистом Сергеем Головней, контрабасистом Евгением Онищенко и барабанщиком Игорем Игнатовым Антон создает собственный квартет, играющий экспериментальную музыку, сложную для восприятия широкому кругу слушателей. Тем не менее, их выступления вызывают мощный резонанс в среде московских джазовых музыкантов.
